\chapter{傅里叶变换及其逆变换的数学推导}
	
	\begin{abstract}
		本文详细推导了连续傅里叶变换及其逆变换的数学过程。首先从傅里叶级数展开出发，通过极限过程推广到非周期函数的情形，得到傅里叶变换对。随后严格证明了傅里叶逆变换的正确性，并讨论了变换的基本性质。推导过程展示了傅里叶分析的核心数学思想。
	\end{abstract}
	
	\keywords{傅里叶变换，傅里叶逆变换，积分变换，信号处理}
	
	\section{引言}
	傅里叶变换是数学物理方法中最重要的工具之一，广泛应用于信号处理、量子力学、热传导等领域。本文将从数学角度严格推导傅里叶变换及其逆变换的表达式，阐明其内在联系。
	
	\section{傅里叶级数到傅里叶变换的过渡}
	对于周期为$T$的函数$f_T(t)$，其傅里叶级数展开为：
	\begin{equation}
		f_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega_0 t}
	\end{equation}
	其中基频$\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$，系数：
	\begin{equation}
		c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f_T(t) e^{-i n \omega_0 t} dt
	\end{equation}
	
	当$T \to \infty$时，离散频谱$n\omega_0$变为连续频谱$\omega$，求和转为积分：
	\begin{equation}
		f(t) = \lim_{T\to\infty} f_T(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega
	\end{equation}
	其中$F(\omega)$即为傅里叶变换。
	
	\section{傅里叶变换的推导}
	定义函数$f(t)$的傅里叶变换：
	\begin{equation}
		F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt
	\end{equation}
	
	推导过程：
	\begin{align}
		f(t) &= \lim_{T\to\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left[ \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(\tau) e^{-i n \omega_0 \tau} d\tau \right] e^{i n \omega_0 t} \\
		&= \lim_{\omega_0\to 0} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left[ \frac{\omega_0}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^{-i n \omega_0 \tau} d\tau \right] e^{i n \omega_0 t} \\
		&= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^{-i\omega \tau} d\tau \right] e^{i\omega t} d\omega
	\end{align}
	
	由此得到傅里叶变换对：
	\begin{equation}
		F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt
	\end{equation}
	
	\section{傅里叶逆变换的证明}
	要证明：
	\begin{equation}
		f(t) = \mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega
	\end{equation}
	
	证明过程：
	\begin{align}
		\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^{-i\omega \tau} d\tau \right] e^{i\omega t} d\omega \\
		&= \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \left[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega (t-\tau)} d\omega \right] d\tau \\
		&= \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \delta(t-\tau) d\tau \\
		&= f(t)
	\end{align}
	其中利用了狄拉克δ函数的性质：
	\begin{equation}
		\delta(t-\tau) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega (t-\tau)} d\omega
	\end{equation}
	
	\section{基本性质}
	傅里叶变换具有以下重要性质：
	\begin{itemize}
		\item 线性性：$\mathcal{F}[af(t)+bg(t)] = aF(\omega)+bG(\omega)$
		\item 时移性：$\mathcal{F}[f(t-t_0)] = e^{-i\omega t_0}F(\omega)$
		\item 频移性：$\mathcal{F}^{-1}[F(\omega-\omega_0)] = e^{i\omega_0 t}f(t)$
		\item 卷积定理：$\mathcal{F}[f(t)*g(t)] = F(\omega)G(\omega)$
	\end{itemize}
	
	\section{结论}
	本文系统推导了傅里叶变换及其逆变换的数学表达式，证明了它们之间的互逆关系。这种变换对建立了时域和频域之间的桥梁，为信号分析和系统研究提供了强有力的工具。
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{ref1} Bracewell, R. N. (2000). The Fourier Transform and Its Applications. McGraw-Hill.
		\bibitem{ref2} Oppenheim, A. V., \& Schafer, R. W. (2009). Discrete-Time Signal Processing. Pearson.
		\bibitem{ref3} 李永乐. (2018). 数学物理方法. 高等教育出版社.
	\end{thebibliography}
	